设x≥1,y≥1,证明:x+y+1/xy≤1/x+1/y+xy.

问题描述:

设x≥1,y≥1,证明:x+y+

1
xy
1
x
+
1
y
+xy.

证明:要证x+y+

1
xy
1
x
+
1
y
+xy,
只需证明
1
xy
1
x
1
y
≤xy−x−y

只需证明(1−
1
x
)(1−
1
y
)≤(1−x)(1−y)
=(x-1)(y-1),
只需证明1-
1
x
≤x-1;1-
1
y
≤y-1,
即证x+
1
x
≥2,y+
1
y
≥2,(x≥1,y≥1)这是均值不等式,
所以x≥1,y≥1,x+y+
1
xy
1
x
+
1
y
+xy
得证.