已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，点P为BC上任意一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于点F． （1）求证：△ADF∽△BDE； （2）求证：△DEF∽△ABC．
问题描述：
已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，点P为BC上任意一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于点F．
（1）求证：△ADF∽△BDE；
（2）求证：△DEF∽△ABC．
答
证明：（1）∵∠BAC=90°，AD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴四边形AEPF为矩形，
∴AF=EP，
∵∠EBP=∠DBA，
∴Rt△BEP∽Rt△BDA，
∴
=EP AD
，BE BD
∴
=AF AD
，即BE BD
=AF BE
，AD BD
∵∠DAF+∠BAD=90°，∠B+∠BAD=90°，
∴∠DAF=∠B，
∴△ADF∽△BDE；
（2）∵△ADF∽△BDE，
∴∠ADF=∠BDE，
=DF DE
，即AD BD
=DF AD
DE BD
而∠BDF+∠ADE=90°，
∴∠ADF+∠ADE=90°，∠DEF=90°，
∴∠ADB=∠FDE，
∴△DEF∽△DBA，
∴∠DEF=∠B，
∴Rt△DEF∽Rt△ABC．