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经过椭圆x22+y2=1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A、B两点.设O为坐标原点，则OA•OB等于（　　） A.-3 B.-13 C.-13或-3 D.±13

分类: 作业答案 • 2021-12-30 13:30:45

问题描述：

经过椭圆

x2

2

+y²=1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A、B两点.设O为坐标原点，则

OA

•

OB

等于（　　）
A. -3
B. -

1

3

C. -

1

3

或-3
D. ±

1

3

答

由

x2

2

+y²=1，得a²=2，b²=1，c²=a²-b²=1，焦点为（±1，0）．
直线l不妨过右焦点，倾斜角为45°，直线l的方程为y=x-1．
代入

x2

2

+y²=1得x²+2（x-1）²-2=0，
即3x²-4x=0．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁•x₂=0，x₁+x₂=

4

3

，y₁y₂=（x₁-1）（x₂-1）=x₁x₂-（x₁+x₂）+1=1-

4

3

=-

1

3

，

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=0-

1

3

=-

1

3

．
故选B