如图，等腰直角△ABC中，∠ACB=90゜，D为CB延长线上一点，AE=AD，且AE⊥AD，BE与AC的延长线交于点P．（1）求证：BP=PE；（2）若AC=3PC，求DBBC的值．
问题描述：
如图，等腰直角△ABC中，∠ACB=90゜，D为CB延长线上一点，AE=AD，且AE⊥AD，BE与AC的延长线交于点P．
（1）求证：BP=PE；
（2）若AC=3PC，求
的值． DB BC
答
知识点：本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．
证明：（1）作EM⊥AP于M，
∵∠ACB=90°，
∴∠M=∠ACD，
∵AD⊥AE，
∴∠DAE=90°，
∴∠EAM+∠AEM=90°，∠EAM+∠DAC=90°，
∴∠DAC=∠AEM，
在△ADC和△EAM中
∠DAC＝∠AEM ∠ACD＝∠M AD＝AE
∴△ADC≌△EAM，
∴AC=EM，
∵AC=BC，
∴BC=EM，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCP=∠M，
在△BCP和△EMP中
∠BCP＝∠M ∠BPC＝∠EPM BC＝EM
∴△BCP≌△EMP（AAS），
∴BP=PE．
（2）∵△BCP≌△EMP，△ADC≌△EAM，
∴CP=PM，AM=DC，
设PC=PM=x，AC=BC=3x，AM=DC=5x，
∴BD=2x，
∴
＝DB BC
．2 3
答案解析：（1）作EM⊥AP于M，证△BCP≌△EMP，求出BC=AC=EM，证△ADC≌△EAM，推出即可；
（2）根据全等三角形性质得出CP=PM，DC=AM，设PC=PM=x，AC=BC=3x，AM=DC=5x，求出BD=2x，即可求出答案．
考试点：等腰直角三角形；全等三角形的判定与性质．
知识点：本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．