已知∠MON=60°,射线OT是∠MON的平分线,点P是射线OT上的一个动点,射线PB交射线ON于点B. (1)如图,若射线PB绕点P顺时针旋转120°后与射线OM交于A,求证:PA=PB;(2)在(1)的条件下,若

问题描述:

已知∠MON=60°,射线OT是∠MON的平分线,点P是射线OT上的一个动点,射线PB交射线ON于点B.

(1)如图,若射线PB绕点P顺时针旋转120°后与射线OM交于A,求证:PA=PB;
(2)在(1)的条件下,若点C是AB与OP的交点,且满足PC=

3
2
PB,求:△POB与△PBC的面积之比;
(3)当OB=2时,射线PB绕点P顺时针旋转120°后与直线OM交于点A(点A不与点O重合),直线PA交射线ON于点D,且满足∠PBD=∠ABO.请求出OP的长.

(1)证明:作PF⊥OM于F,作PG⊥ON于G,(1分)
∵OP平分∠MON,
∴PF=PG,(2分)
∵∠MON=60°,
∴∠FPG=360°-60°-90°-90°=120°,(3分)
又∵∠APB=120°,
∴∠APF=∠BPG,
∴△PAF≌△PBG,(4分)
∴PA=PB;(5分)
(2)由(1)得:PA=PB,∠APB=120°,
∴∠PAB=∠PBA=30°,(6分)
∵∠MON=60°,OP平分∠MON,
∴∠TON=30°,(7分)
∴∠POB=∠PBC,(8分)
又∠BPO=∠OPB,
∴△POB∽△PBC,(9分)

SPOB
S△PBC
=(
PB
PC
)2=(
PB
3
2
PB
)2=
4
3

∴△POB与△PBC的面积之比为4:3;(10分)
(3)①当点A在射线OM上时(如图乙1),

易求得:∠BPD=∠BOA=60°,
∵∠PBD=∠ABO,而∠PBA=30°,
∴∠OBA=∠PBD=75°,
作BE⊥OT于E,
∵∠NOT=30°,OB=2,
∴BE=1,OE=
3
,∠OBE=60°,
∴∠EBP=∠EPB=45°,
∴PE=BE=1,
∴OP=OE+PE=
3
+1,(12分)
②当点A在射线OM的反向延长线上时(如图乙2),

此时∠AOB=∠DPB=120°,
∵∠PBD=∠ABO,而∠PBA=30°,
∴∠OBA=∠PBD=15°,
作BE⊥OT于E,
∵∠NOT=30°,OB=2,
∴BE=1,OE=
3
,∠OBE=60°,
∴∠EBP=∠EPB=45°,
∴PE=BE=1,
∴OP=
3
-1,(14分)
∴综上所述,当OB=2时,OP=
3
+1或
3
-1