已知动点P（x，y）到定点F（1，0）的距离比它到定直线x=-2的距离小1． （1）求点P的轨迹C的方程； （2）在轨迹C上是否存在两点M、N，使这两点关于直线l：y=kx+3对称，若存在，试求出k的取值
问题描述：
已知动点P（x，y）到定点F（1，0）的距离比它到定直线x=-2的距离小1．
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）在轨迹C上是否存在两点M、N，使这两点关于直线l：y=kx+3对称，若存在，试求出k的取值范围；若不存在，说明理由．
答
解（1）由题意可知，动点P到定点和它到直线x=-1的距离相等，由抛物线定义知点P的轨迹是以F（1，0）为焦点，以直线x=-1为准线的抛物线，
∴
＝1⇒p＝2，p 2
∴轨迹方程为y2=4x．
（2）易知k=0时不符合题意，应舍去．
当k≠0时，设点M(
，y1)，N(
y
21
4
，y2)关于直线l：y=kx+3对称，MN的中点为Q（x°，y°），则
y
22
4
＝−
y2−y1
−
y
22
4
y
21
4
⇒y1+y2＝−4k⇒y°＝−2k，1 k
∵Q（x0，y0）在直线l上，
∴y0=kx0+3，∴x0＝−
．2k+3 k
∵点Q在抛物线的内部，∴y02＜4x0．
即(−2k)2＜4×(−
)⇒2k+3 k
＜0⇒
k3+2k+3 k
＜0．(k+1)(k2−k+3) k
∵k2−k+3＝(k−
)2+1 2
＞0恒成立，∴11 4
＜0，k+1 k
∴k（k+1）＜0，解得-1＜k＜0．
∴k的取值范围是（-1，0）．