正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，E，F是线段AD1，DB上的点，且AE=BF． （1）求证：EF∥平面CD1． （2）求异面直线BD与B1C1．
问题描述：
正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，E，F是线段AD1，DB上的点，且AE=BF．
（1）求证：EF∥平面CD1．
（2）求异面直线BD与B1C1．
答
（1）证明：作EH⊥DD1于H，FG⊥CD于G，连接HG．
∵AD1=BD，AE=BF，∴ED1=FD，
又∠EHD1=∠FGD=90°，∠ED1H=∠FDG=45°，
∴△EHD1≌△FGD，EH=FG，
又∵EH∥AD∥FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∴EF∥HG，
∵EF⊄平面CD1．HG⊂平面CD1．
∴EF∥平面CD1．
（2）∵BC∥B1C1，
∴∠CDB即为异面直线BD与B1C1所成的角．
∵∠CDB=45°．
∴异面直线BD与B1C1所成的角为45°．