关于x的方程ax3-x2+x+1=0在(0,+∞)上有且仅有一个实数解,则a的取值范围为_.

问题描述:

关于x的方程ax3-x2+x+1=0在(0,+∞)上有且仅有一个实数解,则a的取值范围为______.

关于实数x的方程ax3-x2+x+1=0的所有解中,仅有一个正数解⇔a=

1
x
-
1
x2
-
1
x3
有仅有一个正实数解.
1
x
=t(t≠0),t的符号与x的符号一致,则a=-t3-t2+t有且仅有一个正实数解,
令f(t)=-t3-t2+t(t≠0),
f′(t)=-3t2-2t+1,由f′(t)=0得t=
1
3
或t=-1.
又t∈(-1,
1
3
)时,f′(t)>0;t∈(-∞,-1),(
1
3
,+∞)时,f′(t)<0.所以[f(t)]极大值=f(
1
3
)=
5
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又t→-∞,f(t)→+∞;t→+∞,f(t)→-∞.
结合三次函数图象,如图.
综上所述,实数a的取值范围为a≤0或a=
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故答案为:a≤0或a=
5
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