已知a∈R，函数f(x)＝1−1x，x＞0(a−1)x+1，x≤0（1）证明：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（2）求函数f（x）的零点．
问题描述：
已知a∈R，函数f(x)＝
1−
，x＞01 x (a−1)x+1，x≤0
（1）证明：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（2）求函数f（x）的零点．
答
（1）在（0，+∞）上任取两个实数x1，x2，且
＜x2，
x
1
则f(x1)−f(x2)＝(1−
)−(1−1 x1
)=1 x2
−1 x2
=1
x
1
．
x1−x2
x1x2
∵0＜x1＜x2，
∴x1-x2＜0，x1x2＞0．
∴
＜0，
x1−x2
x1x2
即f（x1）-f（x2）＜0．
∴f（x1）＜f（x2）．
∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．
（2）（ⅰ）当x＞0时，令f（x）=0，
即1−
＝0，1 x
解得x=1＞0．
∴x=1是函数f（x）的一个零点．
（ⅱ）当x≤0时，令f（x）=0，即（a-1）x+1=0．（※）
①当a＞1时，由（※）得x＝
＜0，1 1−a
∴x＝
是函数f（x）的一个零点； 1 1−a
②当a=1时，方程（※）无解；
③当a＜1时，由（※）得x＝
＞0，（不合题意，舍去） 1 1−a
综上，当a＞1时，函数f（x）的零点是1和
；1 1−a
当a≤1时，函数f（x）的零点是1．
答案解析：（1）根据汉函数单调性定义进行证明即可．
（2）根据函数零点的定义直接解方程f（x）=0即可得到函数的零点．
考试点：函数单调性的性质；函数零点的判定定理．
知识点：本题主要考查函数单调性的证明以及函数零点的计算，根据定义是解决本题的关键，考查学生的运算能力．