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已知向量a=（1，cosx），b=（13，sinx），x∈（0，π）．   （Ⅰ）若a∥b，分别求tanx和sinx+cosxsinx−cosx的值；（Ⅱ）若a⊥b，求sinx-cosx的值．

分类: 作业答案 • 2021-12-18 17:31:39
问题描述：

已知向量

a
=（1，cosx），
b
=（
1
3
，sinx），x∈（0，π）．   
（Ⅰ）若
a
∥
b
，分别求tanx和
sinx+cosx
sinx−cosx
的值；
（Ⅱ）若
a
⊥
b
，求sinx-cosx的值．

答

（Ⅰ）∵a∥b⇒sinx＝

1
3
cosx⇒tanx＝
1
3
，
∴
sinx+cosx
sinx−cosx
＝
tanx+1
tanx−1
＝
1
3
+1
1
3
−1
＝−2
（Ⅱ）∵a⊥b⇒
1
3
+sinxcosx＝0⇒sinxcosx＝−
1
3
，
∴(sinx−cosx)2＝1−2sinxcosx＝
5
3
，
又∵x∈(0，π)且sinxcosx＜0⇒x∈(
π
2
，π)⇒sinx−cosx＞0．
∴sinx−cosx＝
 15
3
．
答案解析：（I）利用向量共线定理、同角三角函数基本关系式即可得出；
（II）利用向量垂直与数量积的关系、同角三角函数基本关系式即可得出．
考试点：平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的运算；同角三角函数基本关系的运用．
知识点：本题考查了向量共线定理、向量垂直与数量积的关系、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．

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