某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD,公园由长方形的休闲区A1B1C1D1和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000平方米,人行道的宽分别为4米和10

问题描述:

某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD,公园由长方形的休闲区A1B1C1D1和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000平方米,人行道的宽分别为4米和10米(如图)

(Ⅰ)若设休闲区的长和宽的比

A1B1
B1C1
=x,求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解析式;
(Ⅱ)要使公园所占面积最小,休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计?

(Ⅰ)设休闲区的宽为a米,则其长为ax米,
a2x=4000⇒a=

20
10
x

∴S=(a+8)(ax+20)=a2x+(8x+20)a+160
=4000+(8x+20)•
20
10
x
+160
=80
10
(2
x
+
5
x
)+4160,x∈(1,+∞)

(Ⅱ)S≥1600+4160=5760,
当且仅当2
x
=
5
x
⇒x=2.5
时,公园所占面积最小,此时,a=40,ax=100,
即休闲区A1B1C1D1的长为100米,宽为40米.