某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD,公园由长方形的休闲区A1B1C1D1和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000平方米,人行道的宽分别为4米和10米(如图)(Ⅰ)若设休闲区的长和宽的比A1B1B1C1=x,求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解析式;(Ⅱ)要使公园所占面积最小,休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计?

问题描述:

某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD,公园由长方形的休闲区A1B1C1D1和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000平方米,人行道的宽分别为4米和10米(如图)

(Ⅰ)若设休闲区的长和宽的比

A1B1
B1C1
=x,求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解析式;
(Ⅱ)要使公园所占面积最小,休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计?

(Ⅰ)设休闲区的宽为a米,则其长为ax米,
a2x=4000⇒a=

20
10
x

∴S=(a+8)(ax+20)=a2x+(8x+20)a+160
=4000+(8x+20)•
20
10
x
+160
=80
10
(2
x
+
5
x
)+4160,x∈(1,+∞)

(Ⅱ)S≥1600+4160=5760,
当且仅当2
x
=
5
x
⇒x=2.5
时,公园所占面积最小,此时,a=40,ax=100,
即休闲区A1B1C1D1的长为100米,宽为40米.
答案解析:(I)设休闲区的宽为a米,则其长为ax米,根据休闲区A1B1C1D1的面积为4000平方米,将a用x表示,然后根据矩形的面积公式求出公园ABCD所占面积S关于x的函数即可;
(II)利用均值不等式求出最小值,注意等号成立的条件,从而求出长和宽.
考试点:函数模型的选择与应用.

知识点:本题主要考查了函数模型的选择与应用,以及利用均值不等式求最值,属于中档题.