关于x的方程ax3-x2+x+1=0在（0，+∞）上有且仅有一个实数解，则a的取值范围为______．
问题描述：
关于x的方程ax3-x2+x+1=0在（0，+∞）上有且仅有一个实数解，则a的取值范围为______．
答
关于实数x的方程ax3-x2+x+1=0的所有解中，仅有一个正数解⇔a=
-1 x
-1 x2
有仅有一个正实数解．1 x3
令
=t（t≠0），t的符号与x的符号一致，则a=-t3-t2+t有且1 x 仅有一个正实数解，
令f（t）=-t3-t2+t（t≠0），
f′（t）=-3t2-2t+1，由f′（t）=0得t=
或t=-1．1 3
又t∈（-1，
）时，f′（t）＞0；t∈（-∞，-1），（1 3
，+∞）时，f′（t）＜0．所以[f（t）]极大值=f（1 3
）=1 3
．5 27
又t→-∞，f（t）→+∞；t→+∞，f（t）→-∞．
结合三次函数图象，如图．
综上所述，实数a的取值范围为a≤0或a=
．5 27
故答案为：a≤0或a=
．5 27
答案解析：原条件⇔a=
-1 x
-1 x2
有且仅有一个正实数解，令1 x3
=t（t≠0），t的符号与x的符号一致，则a=-t3-t2+t有且仅有一个正实数解，然后通过导数研究函数的单调性和极值，画出函数图象，结合图象可求出a的取值范围．1 x
考试点：利用导数研究函数的单调性；函数的零点．
知识点：本题主要考查了根的存在性及根的个数判断，以及三次函数的性质，同时考查了数形结合与函数方程的思想，属于中档题．