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若不等式|2x-1|+|x+2|≥a2+12a+2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是 ___ ．

分类: 作业答案 • 2021-12-18 17:35:13

问题描述：

若不等式|2x-1|+|x+2|≥a²+

1

2

a+2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是 ___ ．

答

|2x-1|+|x+2|=

-3x-1，x＜-2

-x+3，-2≤x≤

1

2

3x+1，x＞

1

2

，
∴x=

1

2

时，|2x-1|+|x+2|的最小值为

5

2

，
∵不等式|2x-1|+|x+2|≥a²+

1

2

a+2对任意实数x恒成立，
∴a²+

1

2

a+2≤

5

2

，
∴a²+

1

2

a-

1

2

≤0，
∴-1≤a≤

1

2

，
∴实数a的取值范围是[-1，

1

2

]．
故答案为：[-1，

1

2

]．
答案解析：利用绝对值的几何意义，确定|2x-1|+|x+2|的最小值，然后让a²+

1

2

a+2小于等于它的最小值即可．
考试点：绝对值不等式的解法．
知识点：本题考查绝对值不等式的解法，突出考查一元二次不等式的解法及恒成立问题，属于中档题．