如果x和y是两个n维非零实列向量,怎么证明det（E+X*Y^T）=1+X^T*Y,X^T代表x的转置
问题描述：
如果x和y是两个n维非零实列向量,怎么证明det（E+X*Y^T）=1+X^T*Y,X^T代表x的转置
从特征值和特征向量方面分析？
答
可以直接计算的.设X^T=(x1,x2,...,xn),Y^T=(y1,y2,...,yn),An=det（E+X*Y^T）1+x1y1 x1y2 x1y3 ...x1ynx2y1 1+x2y2 x2y3 ....x2yn 按第1列分成两个行列式= x3y1 x3y2 1+x2y3 .x3yn .xny1 xny2 xny3 .1+xnyn1 x1y2 x1...没想到简单的办法，感觉要复杂点Bn=det（E+X*Y^T-λE）=det((1-λ)E+X*Y^T),用上面同样的作法.Bn=(1-λ)B(n-1)+x1y1(1-λ)^(n-1)=(1-λ)[(1-λ)B(n-2)+x2y2(1-λ)^(n-2)]+x1y1(1-λ)^(n-1)=(1-λ)^2B(n-2)+x2y2(1-λ)^(n-1)+x1y1(1-λ)^(n-1)=.......=(1-λ)^n+xnyn(1-λ)^(n-1)+...+x2y2(1-λ)^(n-1)+x1y1(1-λ)^(n-1) =（1-λ)^(n-1)[1-λ+x1y1+x2y2+...+xnyn] 特征值为n-1个1和1+x1y1+x2y2+...+xnyn