一个直角三角形的三边长都是整数,且任两个整数都互质,若三角形的面积与周长的比值是一个完全平方数,求满足条件的三角形中面积最小的三角形的三边长.
问题描述：
一个直角三角形的三边长都是整数,且任两个整数都互质,若三角形的面积与周长的比值是一个完全平方数,求满足条件的三角形中面积最小的三角形的三边长.
用本原勾股数求解！
答
答：
利用本原勾股数原理,设a=m^2-n^2,b=2mn,c=m^2+n^2
依据题意：
k=(ab/2)/(a+b+c) 是完全平方数
=(m^2-n^2)mn/(2m^2+2mn)
=(m-n)(m+n)n/(2m+2n)
=(m-n)n/2
是完全平方数
三角形面积S=ab/2=(m^2-n^2)mn=(m-n)n(m+n)m最小
则：m-n、n、m+n、m能取得最小值即可
1）令m-n=1,n=2,则k=1满足题意
所以：m=3,n=2
所以：a=5,b=12,c=13,S=30
2）令m-n=2,n=1,则k=1满足题意
所以：m=3,n=1
所以：a=8,b=6,c=10,S=24
但是a、b、c是互质数
所以：a=5,b=12,c=13