已知:正方形ABCD的边长为1,射线AE与射线BC交于点E,射线AF与射线CD交于点F,∠EAF=45°. (1)如图1,当点E在线段BC上时,试猜想线段EF、BE、DF有怎样的数量关系?并证明你的猜想. (2)设

问题描述:

已知:正方形ABCD的边长为1,射线AE与射线BC交于点E,射线AF与射线CD交于点F,∠EAF=45°.

(1)如图1,当点E在线段BC上时,试猜想线段EF、BE、DF有怎样的数量关系?并证明你的猜想.
(2)设BE=x,DF=y,当点E在线段BC上运动时(不包括点B、C),如图1,求y关于x的函数解析式,并指出x的取值范围.
(3)当点E在射线BC上运动时(不含端点B),点F在射线CD上运动.试判断以E为圆心以BE为半径的⊙E和以F为圆心以FD为半径的⊙F之间的位置关系.
(4)当点E在BC延长线上时,设AE与CD交于点G,如图2.问△EGF与△EFA能否相似?若能相似,求出BE的值;若不可能相似,请说明理由.

(1)猜想:EF=BE+DF.理由如下:
将△ADF绕着点A按顺时针方向旋转90°,得△ABF′,易知点F′、B、E在一直线上.如图1.
∵AF′=AF,
∠F′AE=∠1+∠3=∠2+∠3=90°-45°=45°=∠EAF,
又∵AE=AE,
∴△AF′E≌△AFE.
∴EF=F′E=BE+DF;
(2)由(1)得 EF=x+y
又 CF=1-y,EC=1-x,
∴(1-y)2+(1-x)2=(x+y)2
化简可得y=

1−x
1+x
(0<x<1);
(3)①当点E在点B、C之间时,由(1)知   EF=BE+DF,故此时⊙E与⊙F外切;
②当点E在点C时,DF=0,⊙F不存在.
③当点E在BC延长线上时,将△ADF绕着点A按顺时针方向旋转90°,得△ABF′,图2.
有  AF′=AF,∠1=∠2,BF′=FD,
∴∠F′AF=90°.
∴∠F′AE=∠EAF=45°.
又 AE=AE,
∴△AF′E≌△AFE.
∴EF=EF′=BE-BF′=BE-FD.
∴此时⊙E与⊙F内切.
综上所述,当点E在线段BC上时,⊙E与⊙F外切;当点E在BC延长线上时,⊙E与⊙F内切;
(4)△EGF与△EFA能够相似,只要当∠EFG=∠EAF=45°即可.
这时有 CF=CE.…(1分)
设BE=x,DF=y,由(3)有EF=x-y.
由 CE2+CF2=EF2,得(x-1)2+(1+y)2=(x-y)2
化简可得  y=
x−1
x+1
(x>1).
又由 EC=FC,得x-1=1+y,即x-1=1+
x−1
x+1
,化简得
x2-2x-1=0,解之得                  
x=1+
2
或x=1-
2
(不符题意,舍去).
∴所求BE的长为1+
2