二阶齐次线性微分方程解的结构问题
二阶齐次线性微分方程解的结构问题
二阶齐次线性微分方程解的结构里 定理是通解是y=c1y1+c2y2 作为2阶方程设两个常数的y函数我能明白,但是他怎么保证解就是这个,就不会有一个不带c1c2的y3出来吗,非齐次的时候不是跟了个尾巴来吗,书上没说明啊,联系齐次方程右边为0通解不带别的东西,非齐次右边不为0通解带了东西,是不是这之间有联系
本来还想问为什么齐次的解的结构不存在y3跟y1y2线性无关，后来找了找发现对线性相关了解不深入，我看到一句话：在解二阶微分方程的时候,无可避免地要进行两次积分.两次积分就会产生两个"任意常数".虽然解有无穷多个,但其中有两个线性无关的特解.所有的解都是这两个特解的线性叠加.然后我就突然理解了，其实找通解是找方程的解跟常数的结合方式，所以实际上是想办法另c1c2出现，只要出现了就是通解，这样无论出现不带c1c2的y3y4等等都能由y1y2线性叠加出来，换句话说，2阶齐次通解的最简形式是y=c1y1+c2y2，所以跟y1y2线性无关的y3是不可能出现的
微分方程解本身含待定常数,有不确定性,再出一个y3也是可能的,比如：y=c1*e^x+c2*e^(3x)+e^x,但可合并到一起,还是y=（c1+1）*e^x+c2*e^(3x)=c1*e^x+c2*e^(3x),
其它理解很正确,齐次和非齐次是有联系的,在齐次的基础上求非齐次的解是比较方便的若非齐次方程直接设解为y=c1y1+c2y2，代入可知等于0，与右边不等，通解只有加上y*特解才能出现右边的项。若非齐次方程直接设解为y=c1y1+c2y2+y3应是可以的，但是，有的y3与y1,y2的形式或参数有某种关系，只有在y1,y2确定后，y3才能明确，明白吗？