求极限lim(x→0) (e^x-x-1)/x
问题描述：
求极限lim(x→0) (e^x-x-1)/x
不用洛必达法则
答
原式=lim [x→0] [(e^x-1)/x-1]设e^x-1=t,e^x=1+t,x=ln(1+t),当x→0时,t→0,lim [x→0] [(e^x-1)/x]=lim [t→0] {t/[ln(1+t)]=lim [t→0] {1/[ln(1+t)^(1/t)] =1/lne=1/1=1,∴原式=lim [x→0] [(e^x-1)/x-1]=1-1=0....第一行原式=lim [x→0] [(e^x-1)/x-1]，为什么？(e^x-x-1)/x=(e^x-1)/x-x/x=[(e^x-1)/x]-1,拆成两项,第二项 x/x=1,再用重要极限lim [t→0][(1+t)^(1/t)]=e,lne=1,1-1=0.lim [t→0] {1/[ln(1 t)^(1/t)]=1/lnelim [t→0] {1/[ln(1+t)^(1/t)]=1/lne,这是两个重要极限之一,lim [x→∞](1+1/x)^x=e,或lim [x→0](1+x)^(1/x)=e,如果不用到这两条式，不用泰勒公式，不用洛必达法则，这题做不出来对吗？目前我还没有想到第4种方法.