证明题：已知△ABC的各条边为a,b,c,外接圆半径为R
问题描述：
证明题：已知△ABC的各条边为a,b,c,外接圆半径为R
求证：（a²+b²+c²）（1/(sinA)²+1/（sinB）²+1/（sinC）²）>=36R²
答
证明:
根据不等到式:a^3+b^3+c^3≥3abc,(a>0,b>0,c>0).
则有:（a²+b²+c²）≥3*(abc)^(2/3),
1/(sinA)²+1/（sinB）²+1/（sinC）²
=4R^2/a^2+4R^2/b^2+4R^2/c^2
≥3*(4R^2)*[1/(abc)^(2/3)],
(a²+b²+c²）（1/(sinA)²+1/（sinB）²+1/（sinC）²）
≥[3*(abc)^(2/3)]*{3*(4R^2)*[1/(abc)^(2/3)]}=9*4R^2=36R^2.
即,（a²+b²+c²）（1/(sinA)²+1/（sinB）²+1/（sinC）²）>=36R²,成立.