牛顿 对微积分的认识过程是怎样的

虽然在牛顿之前,已有不少数学家从事过微积分的奠基性工作,但作为无穷小量分析所涉及的观点和方法,以及由此组成的一门以独特的算法为特征的新学科的发现,这仍归功于牛顿.正如美国数学史家克莱因所说："数学和科学中的巨大进展,几乎总是建立在几百年中作出的一点一滴贡献的许多工作之上的,需要一个人来走那最高最后的一步,这个人要能足够敏锐地从纷乱的猜测和说明中清理出前人有价值的想法,有足够想象力地把这些碎片重新组织起来,并且足够大胆地制定一个宏伟的计划.在微积分中,这个人就是伊萨克·牛顿".
1666年,即牛顿担任数学教授之前,他已经开始关于微积分的研究,他受了沃利斯的《无穷算术》的启发,第一次把代数学扩展到分析学.牛顿起初的研究是静态的无穷小量方法,像费尔马那样把变量看成是无穷小元素的集合.1669年,他完成了第一篇有关微积分的论文.当时在他的朋友中间散发传阅,直到42年后的1711年才正式出版.牛顿在论文中不仅给出了求瞬时变化率的一般方法,而且证明了面积可由求变化率的逆过程得到.这一事实是牛顿创立微积分的标志.接着,牛顿研究变量流动生成法,认为变量是由点、线或面的连续运动产生的,因此,他把变量叫作流量,把变量的变化率叫做流数.牛顿第二阶段的工作,主要体现在成书于1671年的一本论著《流数法和无穷级数》中.书中叙述了微积分基本定理,并对微积分思想作了广泛而更明确的说明.但这篇论著直到1736年才公开发表.牛顿微积分研究的第三阶段用的是最初比和最后比的方法,否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合,不再强调数学量是由不可分割的最小单元构成,而认为它是由几何元素经过连续运动生成的,不再认为流数是两个实无限小量的比,而是初生量的最初比或消失量的最后比,这就从原先的实无限小量观点进到量的无限分割过程即潜无限观点上去.这是他对初期微积分研究的修正和完善.牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径,求给定时刻的速度（微分法）；已知运动的速度求给定时间内经过的路程(积分法).
莱布尼兹的工作
无独有偶,就在牛顿完成了微积分论文却又未公开出版之际,德国科学家莱布尼兹也在做着与牛顿相同的工作.
莱布尼兹1646年生于德国东部重镇莱比锡的一个知识分子家庭中.父亲是莱比锡大学哲学教授,他去世时,莱布尼兹才刚满6岁,因此,年幼的莱布尼兹是在母亲的抚育下成长的.由于他勤奋好学,15岁便考进了莱比锡大学法学系,20岁已获得了法学博士学位.毕业后,他在德国的外交界任职,这使他有机会利用出访英、法等国的条件,与欧洲科学界名流广泛接触.在这个过程中,他开始对当时数学方面的重大课题产生浓厚的兴趣,特别是有关微积分的先驱性工作更是令他心驰神往.莱布尼兹从法国数学家帕斯卡的一篇论文中,敏锐地意识到,不规则面积的求和与变化率的求差运算是可逆的.这一认识正是发明微积分的关键.从1673年到1678年,莱布尼兹已完成了创建微积分学的主要工作,于1684年开始发表有关微积分方面的学术论文.
德国的莱布尼茨是一个博才多学的学者,1684年,他发表了现在世界上认为是最早的微积分文献,这篇文章有一个很长而且很古怪的名字《一种求极大极小和切线的新方法,它也适用于分式和无理量,以及这种新方法的奇妙类型的计算》.就是这样一片说理也颇含糊的文章,却有划时代的意义.他以含有现代的微分符号和基本微分法则.1686年,莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献.他是历史上最伟大的符号学者之一,他所创设的微积分符号,远远优于牛顿的符号,这对微积分的发展有极大的影响.现在我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的.
在完成微积分的问题上,莱布尼兹与牛顿的功绩相当,他们都把微积分作为一种能应用于一般函数的普遍方法.所不同的是,牛顿更多关心的是创立微积分的体系和基本方法,而莱布尼兹似乎更关心运算公式的建立与推广.莱布尼兹的微积分思想虽然不如牛顿那样有条理,但却富于启发性.