1+(3+4)+(5+6+7)+.+(2n-1+2n+...+3n-2)=?

每一个括号里的内容,都可以用 2n-1+2n+……+3n-2 来表示,只不过让n取不同的值即可.
当n=1时,2n-1+2n+……+3n-2=1
当n=2时,2n-1+2n+……+3n-2=(3+4)
当n=3时,2n-1+2n+……+3n-2=(5+6+7)
……
所以我们先算2n-1+2n+……+3n-2的值
这很明显是个等差数列,用求和公式可以求出
2n-1+2n+……+3n-2=5n²/2-3n/2
要求1+(3+4)+(5+6+7)+……(2n-1+2n+……+3n-2)的值只不过是令n=1,n=2,n=3,……,n=n,再把所有和相加而已.
n=1时,S1=5×1²/2-3×1/2=1
n=2时,S2=5×2²/2-3×2/2=(3+4)
n=3时,S3=5×3²/2-3×3/2=(5+6+7)
……
n=n时,Sn=5n²/2-3n/2=(2n-1+2n+……+3n-2)
1+(3+4)+(5+6+7)+.+(2n-1+2n+...+3n-2)=S1+S2+S3+……+Sn
1+(3+4)+(5+6+7)+.+(2n-1+2n+...+3n-2)=(5×1²/2-3×1/2)+(5×2²/2-3×2/2)+(5×3²/2-3×3/2)+……+(5n²/2-3n/2)
1+(3+4)+(5+6+7)+.+(2n-1+2n+...+3n-2)=(5/2)(1²+2²+3²+……+n²)-(3/2)(1+2+3+……+n)
1+(3+4)+(5+6+7)+.+(2n-1+2n+...+3n-2)=(5/2)×n(n+1)(2n+1)/6-(3/2)×n(n+1)/2
整理得,
1+(3+4)+(5+6+7)+.+(2n-1+2n+...+3n-2)=n(n+1)(5n/6-1/3)