已知函数f(x)是定义在正实数集上的单调函数,且满足对任意x>0,都有f[f(x)-lnx]=1+e,则f(1)=_.

问题描述:

已知函数f(x)是定义在正实数集上的单调函数,且满足对任意x>0,都有f[f(x)-lnx]=1+e,则f(1)=______.

f[f(x)-lnx]=1+e,对任意x都成立,
说明f(x)-lnx是一个定值k
f(k)=1+e
f(x)=lnx+k
∴f′(x)=

1
x
>0
所以:f(x)单调增.
f(k)=lnk+k=1+e
解得:k=e
所以:f(x)=lnx+e
所以:f(1)=e.
故答案为:e.