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已知空间四边形ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是BC、CD上的点，且CF/CB＝CG/CD＝2/3． 求证：（1）E、F、G、H四点共面；（2）三条直线EF、GH、AC交于一点．

分类: 作业答案 • 2021-12-28 17:59:58
问题描述：

已知空间四边形ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是BC、CD上的点，且

CF
CB
＝
CG
CD
＝
2
3
．
求证：（1）E、F、G、H四点共面；（2）三条直线EF、GH、AC交于一点．

答

证明：（1）在△ABD和△CBD中，
∵E、H分别是AB和AD的中点，∴EH

∥
.
.
1
2
BD
又∵
CF
CB
＝
CG
CD
＝
2
3
，∴FG
∥
.
.
2
3
BD．
∴EH∥FG
所以，E、F、G、H四点共面．
（2）由（1）可知，EH∥FG，且EH≠FG，即直线EF，GH是梯形的两腰，
所以它们的延长线必相交于一点P
∵AC是EF和GH分别所在平面ABC和平面ADC的交线，而点P是上述两平面的公共点，
∴由公理3知P∈AC．
所以，三条直线EF、GH、AC交于一点

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