已知f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(2)=1. (1)求证:f(8)=3. (2)求不等式f(x)-f(x-2)>3的解集.
问题描述:
已知f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(2)=1.
(1)求证:f(8)=3.
(2)求不等式f(x)-f(x-2)>3的解集.
答
证明:(1)由题意可得f(8)=f(4×2)=f(4)+f(2)=f(2×2)+f(2)=3f(2)=3
(2)原不等式可化为f(x)>f(x-2)+3=f(x-2)+f(8)=f(8x-16)
∵f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数
∴
8x−16>0 x>8x−16
解得:2<x<
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