如何证明指数换底公式

问题描述:

如何证明指数换底公式

log(a)(b)表示以a为底的b的对数.
  所谓的换底公式就是log(a)(b)=log(n)(b)/log(n)(a).
  换底公式的推导过程:
  若有对数 log(a)(b) 设a=n^x,b=n^y
  则 log(a)(b)=log(n^x)(n^y)
  根据 对数的基本公式log(a)(M^n)=nlog(a)(M) 和 基本公式log(a^n)(M)=1/n×log(a)(M)
  易得 log(n^x)(n^y)=y/x
  由 a=n^x,b=n^y 可得 x=log(n)(a),y=log(n)(b)
  则有:log(a)(b)=log(n^x)(n^y)=log(n)(b)/log(n)(a)
  得证:log(a)(b)=log(n)(b)/log(n)(a).换底公式的推导:
  设e^x=b^m,e^y=a^n
  则log(a^n)(b^m)=log(e^y)(e^x)=x/y
  x=ln(b^m),y=ln(a^n)
  得:log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)
  由基本性质4可得
  log(a^n)(b^m) = [m×ln(b)]÷[n×ln(a)] = (m÷n)×{[ln(b)]÷[ln(a)]}
  再由换底公式
  log(a^n)(b^m)=m÷n×[log(a)(b)] 性质:  log(a)(N)=log(b)(N)÷log(b)(a)
  推导如下:
  N = a^[log(a)(N)]
  a = b^[log(b)(a)]
  综合两式可得
  N = {b^[log(b)(a)]}^[log(a)(N)] = b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}
  又因为N=b^[log(b)(N)]
  所以 b^[log(b)(N)] = b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}
  所以 log(b)(N) = [log(a)(N)]*[log(b)(a)] {这步不明白或有疑问看上面的}
  所以log(a)(N)=log(b)(N) / log(b)(a)
  公式二:log(a)(b)=1/log(b)(a)
  证明如下:
  由换底公式 log(a)(b)=log(b)(b)/log(b)(a) ----取以b为底的对数
  log(b)(b)=1 =1/log(b)(a) 还可变形得:log(a)(b)×log(b)(a)=1
应该很全面了 )推导过程不是证明么?? 迷糊:)