已知：如图1，射线AM∥射线BN，AB是它们的公垂线，点D、C分别在AM、BN上运动（点D与点A不重合、点C与点B不重合），E是AB边上的动点（点E与A、B不重合），在运动过程中始终保持DE⊥EC，且AD+D
问题描述：
已知：如图1，射线AM∥射线BN，AB是它们的公垂线，点D、C分别在AM、BN上运动（点D与点A不重合、点C与点B不重合），E是AB边上的动点（点E与A、B不重合），在运动过程中始终保持DE⊥EC，且AD+DE=AB=a．
（1）求证：△ADE∽△BEC；
（2）如图2，当点E为AB边的中点时，求证：AD+BC=CD；
（3）设AE=m，请探究：△BEC的周长是否与m值有关？若有关，请用含有m的代数式表示△BEC的周长；若无关，请说明理由．
答
（1）证明：∵DE⊥EC，
∴∠DEC=90°．
∴∠AED+∠BEC=90°
又∵∠A=∠B=90°
∴∠AED+∠EDA=90°．
∴∠BEC=∠EDA．∴△ADE∽△BEC．（2）证明：如图，过点E作EF∥BC，交CD于点F，
∵E是AB的中点，根据平行线等分线段定理，得F为CD的中点，
∴EF＝
(AD+BC)．1 2
在Rt△DEC中，∵DF=CF，
∴EF＝
CD．1 2
∴
(AD+BC)=1 2
CD．1 2
∴AD+BC=CD．
（3）△AED的周长=AE+AD+DE=a+m，BE=a-m．
设AD=x，则DE=a-x．
∵∠A=90°，
∴DE2=AE2+AD2．
即a2-2ax+x2=m2+x2．
∴x＝
．
a2−m2
2a
由（1）知△ADE∽△BEC，
∴
=△ADE的周长 △BEC的周长
=AD BE
=
a2−m2
2a a−m
．a+m 2a
∵C△ADE=a+m，
∴C△BEC=2a，
∴无影响．（8分）