设A是数域F上一个n阶方阵,且A^2=A(A为幂等矩阵)
问题描述：
设A是数域F上一个n阶方阵,且A^2=A(A为幂等矩阵)
证明(1)I+A可逆,并求I+A的逆 (2)秩(A)+秩(I+A)=n (3)A一定可对角化
答
证明:(1) 因为 A^2=A
所以 (A+I)A-2(A+I)=-2I
所以 (A+I)(A-2I)=-2I
所以 A+I 可逆,且 (A+I)^-1 = (-1/2)(A-2I).
(2) 是要证 r(A)+r(I-A)=n 吧!(否则不成立)
因为 A^2=A
所以 A(A-I)=0
所以 r(A)+r(A-I)(2) 是要证 r(A)+r(I-A)=n 吧! (否则不成立)第二问是r(A)+r(I+A)=n由(1), A+I 可逆, 故 r(A+I)=n若你结论成立, 必有 r(A)=0, 即有A =0 !!! 这不对.如 A=1000有 A^2=A.但 r(A)+r(A+I) = 1+2=3 > 2.如图呵呵, 题目错了. 估计打字时疏忽了.(3) 需要(2)的结论, 跟你老师说一下吧