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设A为四阶方阵，且秩（A）=2，则齐次线性方程组A*x=0（A*是A的伴随矩阵）的基础解系所包含的解向量的个数为_．

分类: 作业答案 • 2021-12-28 17:13:00
问题描述：

设A为四阶方阵，且秩（A）=2，则齐次线性方程组A*x=0（A*是A的伴随矩阵）的基础解系所包含的解向量的个数为___．

答

对n阶矩阵A，
①若r（A）=n，则

.
A
 .
≠0∵
.
AA*
.
=
.
.
A
 .
E
 .
，
.
A
 .
.
A*
 .
=
.
A
 .
n，∴
.
A*
 .
=
.
A
 .
n-1≠0，即r（A*）=n
②若r（A）=n-1，则A至少有一个n-1阶的子矩阵的秩为n-1，也就是A*中有至少一个元素不为0，∴1≤r（A*）＜n
③若r（A）＜n-1，则A的n-1阶子矩阵的秩都小于n-1，也就是A*的元素全为0，∴r（A*）=0
因为矩阵A的秩r（A）=2＜n-1=4-1=3，所以r（A*）=0，
A*x=0的基础解系所含解向量的个数为4-0=4．

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