设A为四阶方阵,且秩(A)=2,则齐次线性方程组A*x=0(A*是A的伴随矩阵)的基础解系所包含的解向量的个数为_.

问题描述:

设A为四阶方阵,且秩(A)=2,则齐次线性方程组A*x=0(A*是A的伴随矩阵)的基础解系所包含的解向量的个数为___

对n阶矩阵A,
①若r(A)=n,则

.
A
.
≠0∵
.
AA*
.
=
.
.
A
.
E
.
.
A
.
.
A*
.
=
.
A
.
n
,∴
.
A*
.
=
.
A
.
n-1
≠0,即r(A*)=n
②若r(A)=n-1,则A至少有一个n-1阶的子矩阵的秩为n-1,也就是A*中有至少一个元素不为0,∴1≤r(A*)<n
③若r(A)<n-1,则A的n-1阶子矩阵的秩都小于n-1,也就是A*的元素全为0,∴r(A*)=0
因为矩阵A的秩r(A)=2<n-1=4-1=3,所以r(A*)=0,
A*x=0的基础解系所含解向量的个数为4-0=4.