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已知a，b，c为实数，且满足下式：a2+b2+c2=1，①，a(1/b+1/c)+b(1/c+1/a)+c(1/a+1/b)=-3；②求a+b+c的值．

分类: 作业答案 • 2021-12-28 17:08:02
问题描述：

已知a，b，c为实数，且满足下式：a2+b2+c2=1，①，a(

1
b
+
1
c
)+b(
1
c
+
1
a
)+c(
1
a
+
1
b
)=-3；②求a+b+c的值．

答

将①式变形如下，
a（

1
b
+
1
c
）+1+b（
1
c
+
1
a
）+1+c（
1
a
+
1
b
）+1=0，
即a（
1
a
+
1
b
+
1
c
）+b（
1
a
+
1
b
+
1
c
）+c（
1
a
+
1
b
+
1
c
）=0，
∴（a+b+c）（
1
a
+
1
b
+
1
c
）=0，
∴（a+b+c）•
bc+ac+ab
abc
=0，
∴a+b+c=0或bc+ac+ab=0．
若bc+ac+ab=0，则
（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（bc+ac+ab）=a2+b2+c2=1，
∴a+b+c=±1．
∴a+b+c的值为0，1，-1．

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