如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中点，M，N分别是AE，CD1的中点，AD=AA1=a，AB=2a， （Ⅰ）求证：MN∥平面ADD1A1； （Ⅱ）求异面直线AE和CD1所成角的余弦值．
问题描述：
如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中点，M，N分别是AE，CD1的中点，AD=AA1=a，AB=2a，
（Ⅰ）求证：MN∥平面ADD1A1；
（Ⅱ）求异面直线AE和CD1所成角的余弦值．
答
（Ⅰ）取CD的中点K，连结MK，NK
∵长方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、K分别为AK、CD1、CD的中点
∴MK∥AD，NK∥DD1
∵MK、NK⊄面ADD1A1，AD⊂面ADD1A1，DD1⊂面ADD1A1，
∴MK∥面ADD1A1，NK∥面ADD1A1
∵MK、NK是平面MNK内的相交直线
∴面MNK∥面ADD1A1
又∵MN⊂面MNK，∴MN∥面ADD1A1；
（Ⅱ）取A1D1的中点F，连结AF、EF，
则D1F
CE，从而四边形CEFD1为平行四边形，
∥ . .
∴EF∥CD1，可得∠AEF（或其补角）为异面直线AE和CD1所成的角
在△AEF中，可得
AF＝
，AE＝
a
5
2
，EF＝CD1＝
a
17
2
a
5
由余弦定理，得
cos∠AEF＝
＝AE2+EF2−AF2
2AE•EF
8
85
85
∴异面直线AE和CD1所成角的余弦值为
．8
85
85