两个等价的向量组,一组线性无关,则另一组也线性无关 对还是错?为什么?

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• 关于线性代数证明能不能使用等价代换的方法证明向量组α1+α2、α2+α3、α3+α1线性无关的必要条件是向量组α1、α2、α3线性无关时：因为α1+α2、α2+α3、α3+α1线性无关,所以k1（α1+α2）+k2（α2+α3）+k3（α3+α1）=0 （k1∈R,k2∈R,k3∈R）只有在k1=k2=k3=0时成立即（k1+k3）α1+（k1+k2）α2+（k2+k3）α3=0 （k1∈R,k2∈R,k3∈R）只有在k1+k3=k1+k2=k2+k3=0时成立故得α1、α2、α3线性无关.其中这个能不能等价代换,这样证明对吗?我认为完全正确,只是我的老师硬说这样不可以.重点是为什么不能这样.其他的方法我也知道,只是想找到这个做法对错的根据,而不是结果.
• 对线性代数一个定理5 的困惑,在书上“线性相关性的判别定理”一节中有如下两个定理：定理3：若向量组 a1,a2,a3,…..,ar 线性相关,则a1,a2,a3,…..,ar,ar+1,…..,am 也线性相关.这个没问题,我能理解.关键是下面这个定理5,我怎么都感觉有问题,我错在什么地方.定理5：设有两个向量组A：aj=(a1j,a2j,….,arj)’,j=1,2,….,m; B：bj=(a1j,a2j,….,arj,ar+1,j)’,j=1,2,….,m; 即bj 是由 aj 加上一个分量而得.若向量组 A 线性无关,则向量组 B 也线性无关.感觉不对啊?因为B是A的扩展,根据前面的定理3,A如果线性相关,则B必线性相关.而定理5感觉是他的否命题,否命题不一定是正确的,只有逆否命题才与原命题是等价的.定理3的逆否定理应该是若B线性无关,则A也线性无关.这个才是正确的.书上对定理5的证明如下（我看不懂,而且感觉证明过程存在问题）：证：记 A=(a1,a2,…,am),B=(b1,b2,…,bm
• 【线性代数--线性空间与线性代换】下列论断对的请证明,错的请举反例.1,、若β不能由α1,α2..αS线性表示,则α1,α2..αS,β线性无关.2、若α1,α2..αS线性无关,而α（s+1)不能由α1,α2..αS线性表示,则α1,α2..αS,α（s+1)线性无关.3、若α1,α2..αS线性无关,则其中每一个向量都可由其余向量线性表示.4、如果有一组不全为零的数K1,K2...Ks,使得K1α1+K2α2..KsαS不等于0,则α1,α2..αS线性无关.
• 向量组等价和矩阵等价做题时候遇到这样一道题让我产生联想认为向量组等价的条件更为苛刻一点,不知道我的是想法有没有错误,同时由于我对m*n向量组的秩的有关问题理解很不到位,设n维向量组a1,a2.an线性无关,则n维向量组b1,b2...bn线性无关的充要条件是：（）A 向量组a1,a2.an 可由向量组 b1,b2...bn线性表出B 向量组b1,b2...bn可由a1,a2.an 线性表出C 向量组a1,a2.an与向量组 b1,b2...bn等价D 矩阵A=（a1,a2.an）与矩阵B=（ b1,b2...bn）等价我知道这题的选择应该是D选项,但是对于C选项我的理解是矩阵等价并不能够推导出向量组等价,也就是说向量组等价的条件更严格一些.那么我对C的理解就是这样：如果向量组 也线性无关,那么A与B的秩都为m,这样是可以推出矩阵A与B的秩相同但是得不到向量组等价的条件；而由向量组等价则可以推导出矩阵也等价,从而得到条件是必要的.请问我这样理解有没有错误?错误在什么地方?因为我对向量组等价这一概念的
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