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如图：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=A1A，AC=BC，点D、E分别为C1C、AB的中点，O为A1B与AB1的交点． （Ⅰ）求证：EC∥平面A1BD； （Ⅱ）求证：AB1⊥平面A1BD．

分类: 作业答案 • 2021-12-28 16:35:25
问题描述：

如图：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=A1A，AC=BC，点D、E分别为C1C、AB的中点，O为A1B与AB1的交点．

（Ⅰ）求证：EC∥平面A1BD；
（Ⅱ）求证：AB1⊥平面A1BD．

答

（1）∵O是A1B与AB1的交点，
直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=A1A，AC=BC，
∴O为A1B的中点，
在△A1BA中，∵E为AB中点，
∴EO平行A1A，EO=

A1A
2
，且EO垂直AB，
∵D为C1C的中点，
∴DC=
C1C
2
=
A1A
2
=EO，
∵EO∥DC，且EO=DC，EO垂直AB，
∴四边形EODC为矩形，
∴EC∥OD，且EC=OD，
∵OD⊂平面A1BD，
EC⊄平面A1BD，
∴EC∥平面A1BD．
（2）∵四边形EODC为矩形，∴OD⊥OE，
∵AC=BC，E为AB中点，∴EC⊥AB，
∴OD⊥AB，
∴OD⊥平面ABB1A1，
∴OD垂直AB1，
∵AB=A1A，∴侧面ABB1A1为正方形，
∴AB1⊥A1B，
∵A1B与OD都在平面A1BD上，A1B∩OD=O，
∴AB1⊥平面A1BD．

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