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过椭圆x29+y25=1左焦点F且不垂直于x轴的直线交椭圆于A、B两点，AB的垂直平分线交x轴于点N，则|NF||AB|=_．

分类: 作业答案 • 2021-12-28 16:06:56
问题描述：

过椭圆

x2
9
+
y2
5
=1左焦点F且不垂直于x轴的直线交椭圆于A、B两点，AB的垂直平分线交x轴于点N，则
|NF|
|AB|
=______．

答

取直线的斜率为1．右焦点F（2，0）．直线AB的方程为y=x-2．
把y=x-2代入

x2
9
+
y2
5
=1整理得14x2-36x-9=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=
18
7
，y1+y2=-
10
7
，x1x2=-
9
14
，
∴AB中点坐标为（
9
7
，-
5
7
），则AB的中垂线方程为y+
5
7
=-（x-
9
7
），
令y=0，得x=
4
7
，∴点N的坐标（
4
7
，0）．
∴|NF|=
(
4
7
−2)2
=
10
7
，|AB|=
2[(
18
7
)2−4×(−
9
14
)]
=
30
7
，
∴
|NF|
|AB|
=
1
3
．
故答案为：
1
3
．

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