设实数x,y,z满足x+y+2z=6,求x2+y2+z2的最小值,并求此时x,y,z的值.

问题描述:

设实数x,y,z满足x+y+2z=6,求x2+y2+z2的最小值,并求此时x,y,z的值.

∵(x2+y2+z2)(12+12+22)≥(x+y+2z)2=36,…(5分)
∴(x2+y2+z2)≥6,当且仅当x=y=

z
2
时取等号,…(8分)
∵x+y+2z=6,∴x=1,y=1,z=2.
∴x2+y2+z2的最小值为6,此时x=1,y=1,z=2.…(10分)