探索下列∠A与∠P之间的关系,并说明理由. (1)如图①,BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB; (2)如图②,BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB的补角: (3)如图③,BP平分∠ABC的补角、CP平分∠ACB的补角.
问题描述:
探索下列∠A与∠P之间的关系,并说明理由.
(1)如图①,BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB;
(2)如图②,BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB的补角:
(3)如图③,BP平分∠ABC的补角、CP平分∠ACB的补角.
答
(1)∵BP、CP分别平分∠ABC和∠ACB,
∴∠PBC=
∠ABC,∠PCB=1 2
∠ACB,1 2
∴∠PBC+∠PCB=
(∠ABC+∠ACB)=1 2
×(180°-∠A),1 2
∴∠P=180°-(∠PCB+∠PBC)=90°+
∠A.1 2
(2)∠ACE=∠A+∠ABC,
∵CP平分∠ACE,BP平分∠ABC,
∴∠PBC=
∠ABC,∠PCA=1 2
∠ACE=1 2
∠A+1 2
∠ABC,1 2
∴∠P=180°-(∠PBC+∠PCA+∠ACB)=
∠A;1 2
(3)∵∠DBC=∠A+∠ACB,∠ECB=∠A+∠ABC,
∴∠DBC+∠ECB=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC,
∵BP、CP分别平分∠DBC和∠ECD,
∴∠PBC=
∠DBC,∠PCB=1 2
∠ECB,1 2
∴∠PBC+∠PCB=
(∠DBC+∠ECB),1 2
∴∠P=180°-(∠PBC+∠PCB)=180°-
(∠DBC+∠ECB)=90°-1 2
∠A.1 2
故答案为:(1)∠P=90°+
∠A;(2)∠P=∠A;(3)∠P=90°-1 2
∠A,1 2