AB均为实对称矩阵,且AB=BA,如果A有n个互异的特征值,证明,存在正交矩阵P使P'AP与P'BP均为对角阵
问题描述：
AB均为实对称矩阵,且AB=BA,如果A有n个互异的特征值,证明,存在正交矩阵P使P'AP与P'BP均为对角阵
答
假定你所说的“AB均为实对称矩阵”其实是“A和B均为实对称矩阵”
先取正交阵P使得P'AP＝D是对角阵
令C＝P‘BP,由条件知DC＝CD,把每个元素都写出来,再利用D的对角元两两不同即得C是对角阵
事实上即使去掉“A有n个互异的特征值”这个条件结论仍然是成立的,只不过是证明还要多加一步而已A和B均为实对称矩阵，如果去掉条件：A有n个互异的特征值要怎么证明呢？取正交阵Q使得Q‘AQ＝D，且D的对角元按大小次序排列，把相同的特征值放到一起构成一个块然后C＝Q’BQ，比较一下DC＝CD得到C是块对角阵，然后再把每个对角块进一步对角化即可