已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)与双曲线 C2:x2-y24=1有公共的焦点,C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A,B两点,若C1恰好将线段AB三等分,则椭圆C1的离心率为 (  )A. e2=1011B. e2=12C. e2=910D. e2=89

问题描述:

已知椭圆C1

x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)与双曲线 C2:x2-
y2
4
=1
有公共的焦点,C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A,B两点,若C1恰好将线段AB三等分,则椭圆C1的离心率为 (  )
A. e2=
10
11

B. e2=
1
2

C. e2=
9
10

D. e2=
8
9

由题意,C2的焦点为(±

5
,0),一条渐近线方程为y=2x,
根据对称性可知以C1的长轴为直径的圆交y=2x于A、B两点,满足AB为圆的直径且AB=2a
∵椭圆C1与双曲线C2有公共的焦点,
∴C1的半焦距c=
5
,可得a2-b2=5,…①
设C1与y=2x在第一象限的交点的坐标为A(m,2m),
代入C1的方程,解得m2=
a2b2
b2+4a2
,…②
由对称性可得直线y=2x被C1截得的弦长AB=2
5
m,
结合题意得2
5
m=
2a
3
,可得m=
a
3
5
,…③
由②③联解,得a2=11b2…④
再联解①④,可得a2=5.5,b2=0.5,得c2=a2-b2=5.
∴椭圆C1的离心率e满足e2=(
c
a
)2
=
c2
a2
=
10
11

故选:A
答案解析:根据双曲线方程,确定一条渐近线为y=2x,可得AB=2a且AB为题中圆的直径.由椭圆与双曲线有公共焦点,可得a2-b2=5.设C1与y=2x在第一象限的交点为A(m,2m),代入C1解出m2=
a2b2
b2+4a2
.再由对称性知直线y=2x被C1截得的弦长AB=2
5
m,根据C1恰好将线段AB三等分解出m=
a
3
5
,联解可得a2、b2、c2的值,结合离心率的公式加以计算,可得答案.
考试点:椭圆的简单性质;双曲线的简单性质.
知识点:本题给出双曲线与椭圆共焦点,在双曲线的渐近线与椭圆长轴为直径的圆相交所得的弦AB被椭圆三等分时,求椭圆的离心率的值.着重考查了椭圆、双曲线的标准方程与简单几何性质与直线与圆等知识,属于中档题.