已知方程x^3一(1一i)x^2十(1一i)x十i=0有一个根是-i,求这个方程在复数集中的解集.
问题描述：
已知方程x^3一(1一i)x^2十(1一i)x十i=0有一个根是-i,求这个方程在复数集中的解集.
答
x^3-(1-i)x^2+(1-i)x+i
=x^3-x^2+x+(x^2-x+1)i
=(x^2-x+1)(x+i)
当(x+i)=0,得x=-i；
当(x^2-x+1)=0,设x=a+bi且a、b为实数,则
(a+bi)^2-(a+bi)+1=0
即(a^2-b^2-a+1)+(2ab-b)i=0
即a^2-b^2-a+1=0且2ab-b=0
得a=1/2,b=正负(根号3)/2
即x=(1/2)+[(根号3)/2]i或x=(1/2)-[(根号3)/2]i
所以这个方程在复数集内的解集是
{x｜x=-i或x=(1/2)+[(根号3)/2]i或x=(1/2)-[(根号3)/2]i}