f(x）在[a,b]上连续,在（a,b)内可导,且f'(x)《0,F(x)=定积分（a~x)f(t)dt/(x-a),证明F'(x)《0
问题描述：
f(x）在[a,b]上连续,在（a,b)内可导,且f'(x)《0,F(x)=定积分（a~x)f(t)dt/(x-a),证明F'(x)《0
答
F(x)=∫ [a-->x] f(t)dt/(x-a)
F'(x)=( f(x)(x-a)-∫ [a-->x] f(t)dt )/(x-a)^2
由积分中值定理,存在ξ∈(a,x),使∫ [a-->x] f(t)dt=f(ξ)(x-a)
则F'(x)=( f(x)(x-a)-f(ξ)(x-a) )/(x-a)^2
=(f(x)-f(ξ))/(x-a)
由x在(a,b)内,x>a,由ξ∈(a,x),则ξ