A^m=A,证明A与对角矩阵相似
问题描述:
A^m=A,证明A与对角矩阵相似
A为复数域上的矩阵,A^m=A,m大于1,求证A与对角矩阵相似
答
注意到 f (λ) = λ^m - λ = λΠ_{k=0}^{m-2}(λ-ζ_{m-1}^k) 是 A 的 0 化多项式,其中 ζ_{m-1} = exp{2πi/(m-1)}.而 λ,λ-ζ_{m-1}^k (k=0,1,...,m-2) 两两互素,故 A 对应的变换空间 V 有直和分解 V = Ker A +...