如图1,点O为直线AB上一点,过点O作射线OC,使角BOC=120度.将一直角三角形的直角顶点放在点O处,一边OM在射线OB上,另一边ON在直线AB的下方.

问题描述:

如图1,点O为直线AB上一点,过点O作射线OC,使角BOC=120度.将一直角三角形的直角顶点放在点O处,一边OM在射线OB上,另一边ON在直线AB的下方.
(1)将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2,使一边OM在角BOC的内部,且恰好平分角BOC,问:直线ON是否平分角AOC?请说明理由;

(1)直线ON平分∠AOC.理由:设ON的反向延长线为OD,∵OM平分∠BOC,∴∠MOC=∠MOB,又∵OM⊥ON,∴∠MOD=∠MON=90°,∴∠COD=∠BON,又∵∠AOD=∠BON(对顶角相等),∴∠COD=∠AOD,∴OD平分∠AOC,即直线ON平分∠AOC.(2)∵∠BOC=120°∴∠AOC=60°,∴∠BON=∠COD=30°,即旋转60°时ON平分∠AOC,由题意得,6t=60°或240°,∴t=10或40;(3)∵∠MON=90°,∠AOC=60°,∴∠AOM=90°-∠AON、∠NOC=60°-∠AON,∴∠AOM-∠NOC=(90°-∠AON)-(60°-∠AON)=30°.点评:此题考查了角平分线的定义,应该认真审题并仔细观察图形,找到各个量之间的关系,是解题的关键.