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已知圆C：（x-1）2+y2=1，过原点O作圆的任一弦，求弦的中点的轨迹方程．

分类: 作业答案 • 2021-12-28 14:54:02
问题描述：

已知圆C：（x-1）2+y2=1，过原点O作圆的任一弦，求弦的中点的轨迹方程．

答

（一）直接法：设OQ为过O的任一条弦P（x，y）是其中点，圆心C（1，0）
则CP⊥OQ，则

CP
•
OQ
＝0
∴（x-1，y）（x，y）=0，即(x−
1
2
)2+y2＝
1
4
(0＜x≤1)
（二）定义法：∵∠OPC=90°，动点P在以M(
1
2
，0)为圆心，OC为直径的圆上，
∴所求点的轨迹方程为(x−
1
2
)2+y2＝
1
4
(0＜x≤1)
（三）参数法：设动弦PQ的方程为y=kx，由
y＝kx
(x−1)2+y2＝1

得：（1+k2）x2-2x=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），
PQ的中点为（x，y），则：x＝
x1+x2
2
＝
1
1+k2
，y＝kx＝
k
1+k2

消去k得(x−
1
2
)2+y2＝
1
4
(0＜x≤1)．

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