函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数,且当x属于[0,1)时,f(x)=log2(2-x),则f(2010)+f(2011)

问题描述:

函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数,且当x属于[0,1)时,f(x)=log2(2-x),则f(2010)+f(2011)
的值是多少

由题意 f(x+1)=-f(-x+1),f(x-1)=-f(-x-1),则
f[(x+2)-1]=f[-(x+2)-1]=-f(-x-3)=-f(-x+1),即f(-x-3)=f(-x+1),
所以f(x)的周期为4,
f(2010)+f(2011)=f(4x502+2)+f(4x503-1)
=f(2)+f(-1),
f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=log2 2=1,
f(-1)=f(0-1)=-f(-0-1)=-f(-1),则f(-1)=0,
所以f(2010)+f(2011)=f(-1)+f(2)=0+1=1.答案是-1哦对,这一步错了,应该是f(2)=f(1+1)=-f(1-1)=-f(0)=-log2 2=-1,