观察下列各式,你有什么发现? 32=4+5,52=12+13,72=24+25 92=40+41…这到底是巧合,还是有什么规律蕴涵其中呢? (1)填空:132=_+_; (2)请写出你发现的规律; (3)结合勾股定理有关知识,

问题描述:

观察下列各式,你有什么发现?
32=4+5,52=12+13,72=24+25   92=40+41…这到底是巧合,还是有什么规律蕴涵其中呢?
(1)填空:132=______+______;
(2)请写出你发现的规律;
(3)结合勾股定理有关知识,说明你的结论的正确性.

(1)132=b+c,这是第6个式子,
故132=

132−1
2
+
132+1
2
=84+85;
(2)规律为:(2n+1)2=(
(2n+1)2−1
2
)+(
(2n+1)2+1
2
).
(3)(
(2n+1)2+1
2
2-(
(2n+1)2−1
2
2
=[(
(2n+1)2−1
2
)+(
(2n+1)2+1
2
)][(
(2n+1)2−1
2
)-(
(2n+1)2+1
2
)]
=(2n+1)2
即三个数是勾股数.