请教一个求矩阵的特征值与特征向量问题.[6 2 4] [2 3 2] [4 2 6] 这个3x3的矩阵,它的转置矩阵...请教一个求矩阵的特征值与特征向量问题.[6 2 4][2 3 2][4 2 6]这个3x3的矩阵,它的转置矩阵等于它本身,是不是有特殊解法?
问题描述：
请教一个求矩阵的特征值与特征向量问题.[6 2 4] [2 3 2] [4 2 6] 这个3x3的矩阵,它的转置矩阵...
请教一个求矩阵的特征值与特征向量问题.
[6 2 4]
[2 3 2]
[4 2 6]
这个3x3的矩阵,它的转置矩阵等于它本身,是不是有特殊解法?
答
它的转置矩阵等于它本身 即对称矩阵.
解: |A-λE| =
6-λ 2 4
2 3-λ 2
4 2 6-λ
c1-c3
2-λ 2 4
0 3-λ 2
λ-2 2 6-λ
r3+r1
2-λ 2 4
0 3-λ 2
0 4 10-λ
= (2-λ)[(3-λ)(10-λ)-8]
= (2-λ)(λ^2-13λ+22)
= (2-λ)(λ-2)(λ-11).
所以A的特征值为 2,2,11.
(A-2E)X=0 的基础解系为 a1=(1,-2,0)^T, a2=(1,0,-1)^T所以A的属于特征值2的特征向量为 k1a1+k2a2, k1,k2是不全为0的任意常数.
(A-11E)X=0 的基础解系为 a3=(2,1,-2)^T所以A的属于特征值2的特征向量为 k3a3, k3是不为0的任意常数.
答
应该就基本的解法.实对称矩阵,肯定能相似对角化,与2次型联系紧密.特征向量经过施密特正交化 与单位化 化为正交矩阵 ,然后可以相似对角化 变成对角矩阵.