高数证明题-连续性
问题描述：
高数证明题-连续性
已知 f 在R上连续,当x属于有理数,f (X) = 0.证明：f (x) 在R上都为0
答
试着证明一下.
反证法.
假设f（x）在某一个无理数点不为0,那么不妨设为f(x0)=a>0,根据连续函数的保号性可知,存在某一个x0的邻域e,在这个e内f（x）>0,
实数有下列性质（实数的稠密性）：任意两个有理数之间必定有无穷多个无理数,任意两个无理数中间必定有无穷多个有理数,任意确定的区间内必定有无穷多个有理数和无穷多个无理数.
因此,在区间e内,必然有无穷多个有理数,根据已知条件,那么所有的这些有理数点,必然有f（x）=0,这和前面的f（x）>0,相矛盾,所以任何一个无理数点,均满足f（x）=0
最后,因为实数是由无理数和有理数相间构成的,所有的无理数点和有理数点构成两个全为0的子数列,因此f（x）在R上都为0这是连续函数的基本性质之一啊 高数书上第一章的内容，至于证明啊，书上的证明方法我忘了（以前还看过，现在看书都是只记结论不计怎么证明的，呵呵）。你可以看看书上式怎么证明的。