已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．（Ⅰ）若AF＝2FB，求直线AB的斜率；（Ⅱ）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．

分类: 作业答案 • 2021-12-28 14:25:48

问题描述：

已知抛物线y²=4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．
（Ⅰ）若

＝2

，求直线AB的斜率；
（Ⅱ）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．

答

（本小题满分13分）
（Ⅰ）依题意F（1，0），设直线AB方程为x=my+1． …（1分）
将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得y²-4my-4=0． …（3分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），所以 y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4． ①…（4分）
因为

＝2

，
所以 y₁=-2y₂． ②…（5分）
联立①和②，消去y₁，y₂，得m＝±

． …（6分）
所以直线AB的斜率是±2

． …（7分）
（Ⅱ）由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，
从而点O与点C到直线AB的距离相等，
所以四边形OACB的面积等于2S_△AOB． …（9分）
因为 2S△AOB＝2×

•|OF|•|y1−y2|…（10分）
=

(y1+y2)2−4y1y2

＝4

1+m2

，…（12分）
所以 m=0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4． …（13分）

已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点． （Ⅰ）若AF＝2FB，求直线AB的斜率； （Ⅱ）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．