已知动点P与双曲线x^2/2-y^2/3=1的两个焦点F1F2的距离之和为定值,且cos∠F1PF2的最小值为-1/9
已知动点P与双曲线x^2/2-y^2/3=1的两个焦点F1F2的距离之和为定值,且cos∠F1PF2的最小值为-1/9
（1）求动点P的轨迹方程
（2）若已知点D（0,3）,点M,N在动点P的轨迹上,且向量DM=λ向量DN,求实数λ的取值范围
（1）F1(-√5,0),F2(√5,0),易知点P的轨迹是一个以F1F2为焦点的椭圆,
有个知识点要知道,椭圆上的点,张角(∠F1PF2)最大处为短轴顶点,
设点P在上顶点B处,则B(0,b),cos∠F1BO=b/a
因为∠F1BF2=2∠F1BO,且cos∠F1BF2=-1/9,所以由倍角公式可得cos∠F1BO=2/3
即b/a=2/3,又因为c^2=a^2-b^2,c=√5,
联列方程组可得：a^2=9,b^2=4,
所以轨迹方程为：x^2/9+y^2/4=1
（2）向量DM=λ向量DN,即D,M,N三点共线；
设三点所在直线为L,
①当L斜率不存在时,易得：M(0,2),N(0,-2),则λ=1/5；
或：M(0,-2),N(0,2),则λ=5；
②当L斜率存在时,则设L：y=kx+3,M(x1,y1),N(x2,y2)
向量DM=(x1,y1-3),向量DN=(x2,y2-3)
因为向量DM=λ向量DN,所以得：x1=λx2,即x1/x2=λ；
直线L：y=kx+3,与椭圆：x^2/9+y^2/4=1联列方程组,消去y,
得：(4/9+k^2)x^2+6kx+5=0；
首先要有两个交点,所以△=b^2-4ac>0,可得：k√5/3；
然后,由韦达定理可推得：x1/x2+x2/x1=b^2/ac-2=324k^2/(45k^2+20)-2
即λ+1/λ=324k^2/(45k^2+20)-2
下面是综合计算能力的体现,对324k^2/(45k^2+20)上下同除k^2得：324/(45+20/k^2)
即λ+1/λ=324/(45+20/k^2)-2
由观察法可得324/(45+20/k^2)是关于k^2递增的；
因为k√5/3,所以k^2>5/9,所以324/(45+20/k^2)>4；
所以λ+1/λ=324/(45+20/k^2)-2>2,则λ>0
整理得：λ^2-2λ+1>0
即：(λ-1)^2>0
所以：λ>0且λ≠1
综上,实数λ的取值范围是：λ>0且λ≠1
我想知道这个答案为啥是错的.我就是这么写的.
我来帮你找一下错：
在（1）中有以下错误：
1）F1(-√5,0),F2(√5,0),易知点P的轨迹是一个以F1F2为焦点的椭圆－－这句话证据不足,不能直接说易知,因为你是做题的,要让别人知道为什么是椭圆,应该改成
“P两个焦点F1F2的距离之和为定值,且cos∠F1PF2＝－1/9,根据椭圆的定义知｜PF1｜+｜PF2｜〉F1F2,P的轨迹是一个以F1F2为焦点的椭圆”
张角(∠F1PF2)最大处为短轴顶点,
设点P在上顶点B处,则B(0,b),cos∠F1BO=b/a（这个错误,而且没定义a代表是什么到底是双曲线的a还是椭圆的a,但不管是哪个的a,cos∠F1BO=b/a都不正确(因为没有证明等腰是最大的毛病),只能写成tg∠F1BO=F1O/b是一个入手点,那么能求出b来,而tg∠F1BO是可以通过cos∠F1BF2来求的）
因为∠F1BF2=2∠F1BO(这个错误,不能直接说是2倍关系,要证明,应改成“OF1=OF2且OB垂直于F1F2可知三角三F1F2B为等腰三角形,即∠F1BF2=2∠F1BO”)
且cos∠F1BF2=-1/9,所以由倍角公式可得cos∠F1BO=2/3,则通过tg∠F1BO=F1O/b可求出b来,知道b 知道焦点,用勾股定理把a求出来
事实上你的结果是对的,但证明顺序不对,任何已知得证明才能用,你的过程毛病出在 a是什么,为什么cos∠F1BO=b/a,为什么∠F1BF2=2∠F1BO,关键在于你才证明了一个等腰三角形,和对椭圆定义的使用,所以你的过程是错的,虽然结果正确.
所以,要修改的话,你在使用cos∠F1BO=b/a,∠F1BF2=2∠F1BO前证明理由,修改如下：
OF1=OF2且OB垂直于F1F2可知三角三F1F2B为等腰三角形,即∠F1BF2=2∠F1BO,BF1=BF2,由椭圆定义知BF1+BF2=2a得BF1＝BF2＝a；把这段加在证明完椭圆之后,然后你后面的主可以用了.