如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，D为斜边BC中点，DE⊥DF，求证：EF2=BE2+CF2．
问题描述：
如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，D为斜边BC中点，DE⊥DF，求证：EF2=BE2+CF2．
答
证明：延长ED到G，使DG=DE，连接EF、FG、CG，如图所示：
在△EDF和△GDF中
，
DF=DF ∠EDF=∠FDG=90° DG=DE
∴△EDF≌△GDF（SAS），
∴EF=FG
又∵D为斜边BC中点
∴BD=DC
在△BDE和△CDG中
，
BD=DC ∠BDE=∠CDG
∴△BDE≌△CDG（SAS）
∴BE=CG，∠B=∠BCG
∴AB∥CG
∴∠GCA=180°-∠A=180°-90°=90°
在Rt△FCG中，由勾股定理得：
FG2=CF2+CG2=CF2+BE2
∴EF2=FG2=BE2+CF2．